Lösningsförslag

Matrisen $A$ är symmetrisk, och därför har den tre ortogonala egenvektorer. Eftersom $\mathbf{v}_1$ är en egenvektor till matrisen $A$ , har vi: $A\mathbf{v}_1 = 4 \cdot \mathbf{v}_1$ . Egenvärdet som motsvarar egenvektorn $\mathbf{v}_1$ är alltså $\lambda_1 = 4$ .

Egenrummet till det givna egenvärdet $\lambda_2$ hittar vi genom att söka lösningar till $A\mathbf{v} = \lambda_2\mathbf{v}$ . Lösningarna blir

\mathbf{v} = s \cdot \mathbf{v}_2 + t \cdot \mathbf{v}_3 = s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right),

där $s$ och $t$ är reella parametrar, d.v.s. egenrummet har dimension två. Observera att basen $(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)$ är inte ortogonal. Vi använder därför Gram-Schmidt för att hitta den ortogonala basen $(\mathbf{v}_2, \mathbf{q}_3)$ , där

\mathbf{q}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{\mathbf{v}_3 \bullet \mathbf{v}_2}{\mathbf{v}_2 \bullet \mathbf{v}_2} \mathbf{v}_2 = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right).

Vi har nu den ortogonala basen $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{q}_3)$ . En ortonormerad bas $(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3)$ får man genom normering:

\mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right), \qquad \mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \qquad \mathbf{u}_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)

Vi har därmed visat att matrisen $A$ kan skrivas $A = PDP^T$ , där $D$ är en diagonal matris, och $P$ är en ortogonal matris:

D = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right), \qquad P = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_2 & \mathbf{u}_3 \end{array} \right)

Svar: Svaret ges av matriserna $D$ och $P$ .