Vi beräknar determinanten av systemets matris:

\det \begin{bmatrix} 3 & a & 2 \\ a & a & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 3 & a & 2 \\ a - 3 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 \end{bmatrix} = (3 - a)(3a - 6).

Systemet har en unik lösning om och endast om determinanten är skild från noll, dvs för alla $a \in \mathbb{R}$ förutom $a = 3$ och $a = 2$ .

Värden av $a$ för vilka determinanten är noll måste undersökas separat. Först sätter vi in $a = 3$ i systemets utvidgade matris och använder elementära radoperationer:

\begin{bmatrix} 3 & 3 & 2 & | & 10 \\ 3 & 3 & 2 & | & 6 \\ 1 & 3 & 3 & | & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & | & 1 \\ 3 & 3 & 2 & | & 6 \\ 0 & 0 & 0 & | & 4 \end{bmatrix}.

Motsvarande system har inga lösningar.

Undersöker fallet $a = 2$ . Systemets utvidgade matris med $a = 2$ insatt radreduseras på följande sätt:

\begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 & | & 10 \\ 2 & 2 & 2 & | & 6 \\ 1 & 3 & 3 & | & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}.

Detta system har oändligt många lösningar.