Eftersom de sökta punkterna uppfyller $P_1 \in \ell_1$ och $P_2 \in \ell_2$ , så finns värden $x, y \in \mathbb{R}$ sådana att

P_1 = (1, 0, 0) + x(1, 0, 1), \quad P_2 = (1, 3, 0) + y(2, 1, 0).

Eftersom $P_1 \in \ell_1$ ger det kortaste avståndet från $P_2$ till $\ell_1$ , måste vektorn $P_1P_2$ vara vinkelrät mot $\ell_1$ . På samma sätt måste vektorn $P_1P_2$ vara vinkelrät mot $\ell_2$ . Därför är $P_1P_2$ parallell med vektor $\pmb{n}$ från deluppgift b). Detta kan skrivas:

P_2 - P_1 = z \pmb{n} \quad \text{för någon} \quad z \in \mathbb{R};

(här betecknas punkter och vektorer från origo till dessa punkter med samma bokstav). Med hjälp av uttrycken för $P_1$ och $P_2$ ovan får vi:

(1, 0, 0) + x(1, 0, 1) - (1, 3, 0) - y(2, 1, 0) = z(-1, 2, 1)

vilket kan skrivas om som följande system:

\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}.

Lösningen till detta system är $(x, y, z) = (-1, -1, -1)$ . Insättning av $x$ och $y$ i ekvationerna ovan ger:

P_1 = (1, 0, 0) - (1, 0, 1) = (0, 0, -1), \quad P_2 = (1, 3, 0) - (2, 1, 0) = (-1, 2, 0).