Matrisen till $T$ med avseende på standardbasen $E = \{1, x, x^3, x^3\}$ är

A = [T]_E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Eftersom $T(p(x)) = \lambda p(x) \Leftrightarrow A[p(x)]_E = \lambda[p(x)]_E$ , kan vi hitta egenvektorerna till $T$ genom att bestämma egenvektorerna till $A$ .

Karaktäristiska ekvationen till $A$ är $\det(\lambda I - A) = 0 \Leftrightarrow (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)^2 = 0$ , så egenvärdena är $-1$ och $1$ .

Egenvektorerna motsvarande egenvärdet -1 blir

\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{och} \quad \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},

så en bas för egenrummet är $(-1 + x^3, -x + x^2)$ .

Egenvektorerna till egenvärdet 1 blir

\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{och} \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},

så en bas till egenrummet är $(1 + x^3, x + x^2)$ .

Svar: En bas till egenrummet med egenvärde $-1$ är $(-1 + x^3, -x + x^2)$ . En bas till egenrummet med egenvärde $1$ är $(1 + x^3, x + x^2)$ .