En vektor som ligger i $U \cap V$ kan skrivas som

\mathbf{x} = a_1 \mathbf{u}_1 + a_2 \mathbf{u}_2 + a_3 \mathbf{u}_3 = b_1 \mathbf{v}_1 + b_2 \mathbf{v}_2 + b_3 \mathbf{v}_3.

För att hitta sådana linjära relationer kan vi ställa upp vektorerna som spänner upp $U$ och $V$ som kolonner i en matris och radreducera

\begin{aligned} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 7 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \\ & \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}. \end{aligned}

En bas för nollrummet ges $\left[

\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{array}

\right]^T$ och $\left[

\begin{array}{rrrr} -1 & 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}

\right]^T$. Detta visar att vektorerna

\mathbf{w}_1 = \mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 - \mathbf{u}_3 = 2 \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}

och

\mathbf{w}_2 = -\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3 = -\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}

båda ligger i $U \cap V$ och utgör en bas för detta delrum.

Vi kan nu använda Gram-Schmidts metod för att få fram den sökta ON-basen. Nämligen, låt

\mathbf{e}_1 = \frac{1}{\|\mathbf{w}_1\|} \mathbf{w}_1 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}

och

\mathbf{w}_2 - \mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{w}_2 \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix} - \frac{2}{2} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}.

Efter omskalning får vi ON-basen

\left(\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}\right),