Beteckning $[ \mathbf{x} ]_{\mathcal{B}} =

\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}

$ betyder att $\mathbf{x} = x_1 \mathbf{b}_1 + x_2 \mathbf{b}_2$ där $\mathbf{b}_1$ och $\mathbf{b}_2$ är vektorerna från basen $\mathcal{B}$ . Om vi skriver detta i koordinater med avseende på basen $C$ , så får vi:

[ \mathbf{x} ] _ {C} = x _ {1} [ \mathbf{b} _ {1} ] _ {C} + x _ {2} [ \mathbf{b} _ {2} ] _ {C} := P \begin{bmatrix} x _ {1} \\ x _ {2} \end{bmatrix} = P [ \mathbf{x} ] _ {\mathcal{B}}.

Vi ser att matrisen $P$ är en $2 \times 2$ -matris, vars kolonner utgörs av $\mathcal{B}$ -basvektorernas koordinater i basen $C$ . Vi räknar ut dessa. Vi söker först $[\mathbf{b}_1]_C =

\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix}

$, dvs., $k_1$ , $k_2$ sådana att

k _ {1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + k _ {2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}.

Med Gausselimination (eller huvudräkning) får vi

\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

som blir första kolonn i matrisen $P$ . Sedan söker vi $[\mathbf{b}_2]_C =

\begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \end{bmatrix}

$, dvs., $l_1$ , $l_2$ sådana att

l _ {1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + l _ {2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

Med Gausselimination (eller huvudräkning) får vi

\begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

som blir den andra kolonnen i matrisen $P$ . Vi får, alltså,

P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.