b) Matrisen i basen $B$ för rotationen kan ställas upp som

[ R ] _ {B} = \left( \begin{array}{c c c} | & | & | \\ (R (\boldsymbol {u})) _ {B} & (R (\boldsymbol {v})) _ {B} & (R (\boldsymbol {w})) _ {B} \\ | & | & | \\ \hline \end{array} \right),

där $R(\pmb{u})$ , $R(\pmb{v})$ och $R(\pmb{w})$ är bildvektorerna av $\pmb{u}$ , $\pmb{v}$ resp. $\pmb{w}$ under rotationen.

Från figuren ovan går det att avläsa att bildvektorerna ges av

R (\boldsymbol {u}) = - \boldsymbol {v} + (\boldsymbol {u} - \boldsymbol {v}) = \boldsymbol {u} - 2 \boldsymbol {v}, R (\boldsymbol {v}) = \boldsymbol {u} - \boldsymbol {v}, R (\boldsymbol {w}) = \boldsymbol {w} - \boldsymbol {u}.

Därmed är $\left(R(\boldsymbol{u})\right)_B = (1, -2, 0)$ , $\left(R(\boldsymbol{v})\right)_B = (1, -1, 0)$ och $\left(R(\boldsymbol{w})\right)_B = (-1, 0, 1)$ . Matrisen för rotationen blir

[ R ] _ {B} = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).

METOD 2 (Basbyte)

Inför en ny ON-bas $B' = \{e_1, e_2, e_3\}$ enligt figuren nedan.

I denna bas har vektorerna $\boldsymbol{u}$ , $\boldsymbol{v}$ och $\boldsymbol{w}$ koordinaterna $(0,1,-1)$ , $(0,1,0)$ resp. $(-1,0,-1)$ . Detta betyder att basbytesmatriserna mellan baserna $B$ och $B'$ är

P _ {B \to B ^ {\prime}} = \left( \begin{array}{c c c} | & | & | \\ (\boldsymbol {u}) _ {B ^ {\prime}} & (\boldsymbol {v}) _ {B ^ {\prime}} & (\boldsymbol {w}) _ {B ^ {\prime}} \\ | & | & | \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} \right) \quad \text{och} \quad P _ {B ^ {\prime} \to B} = \left(P _ {B \to B ^ {\prime}}\right) ^ {- 1} = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array} \right).

a) I basen $B'$ har vektorn $\overrightarrow{OQ}$ koordinaterna $(-1, 1, 0)$ och därmed har vektorn koordinaterna

\left(\overrightarrow {O Q}\right) _ {B} = P _ {B ^ {\prime} \to B} \left(\overrightarrow {O Q}\right) _ {B ^ {\prime}} = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)

i basen $B$ , dvs. $\left(\overrightarrow{OQ}\right)_B = (-1,2,1)$

b) I basen $B'$ sker rotationen kring den första koordinataxeln och rotationen avbildar basvektorerna enligt $\boldsymbol{e}_1 \mapsto \boldsymbol{e}_1$ , $\boldsymbol{e}_2 \mapsto -\boldsymbol{e}_3$ och $\boldsymbol{e}_3 \mapsto \boldsymbol{e}_2$ . Matrisen för rotationen i basen $B'$ blir därför

[ R ] _ {B ^ {\prime}} = \left( \begin{array}{c c c} | & | & | \\ (R (\boldsymbol {e} _ {1})) _ {B ^ {\prime}} & (R (\boldsymbol {e} _ {2})) _ {B ^ {\prime}} & (R (\boldsymbol {e} _ {3})) _ {B ^ {\prime}} \\ | & | & | \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array} \right)

Med basbyte kan matrisen för rotationen bestämmas i basen $B$ ,

\begin{array}{l} [ R ] _ {B} = P _ {B ^ {\prime} \rightarrow B} [ R ] _ {B ^ {\prime}} P _ {B \rightarrow B ^ {\prime}} \\ = \left(\begin{array}{c c c}1&0&- 1\\- 1&1&1\\- 1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&0&1\\0&- 1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}0&0&- 1\\1&1&0\\- 1&0&- 1\end{array}\right) \\ = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right). \end{array}

Svar:

a) $(\overrightarrow{OQ})_B = (-1,2,1)$ b) $[R]_B = \left(

\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\ -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}

\right)$