a) Använd Gram-Schmidts ON-process på vektorerna $(1, 1, 1, 1)$ och $(1, 0, 1, 0)$ för att få en ON-bas för $U$ ,

\boldsymbol{u}_1 = \frac{1}{2}(1, 1, 1, 1) \quad \text{och} \quad \boldsymbol{u}_2 = \frac{1}{2}(1, -1, 1, -1).

När samma sak utförs på vektorerna $(1, 0, 2, 0)$ och $(1, 1, 2, -2)$ fås en ON-bas för $V$ ,

\boldsymbol{w}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 0, 2, 0) \quad \text{och} \quad \boldsymbol{w}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(0, 2, 0, -1).

Denna ON-bas för $V$ duger dock eftersom $\pmb{u}_1 \cdot \pmb{w}_2 = 1/2\sqrt{5}$ inte är lika med $\pmb{u}_2 \cdot \pmb{w}_1 = 3/2\sqrt{5}$ . Istället, välj en lämplig vinkel $\alpha$ och rotera $\pmb{w}_1$ och $\pmb{w}_2$ med denna vinkel i planet $V$ så att villkoret uppfylls. Sätt därför $(\pmb{v}_1)_B = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ och $(\pmb{v}_2)_B = (-\sin \alpha, \cos \alpha)$ , där $B = \{\pmb{w}_1, \pmb{w}_2\}$ , dvs.

\boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{w}_1 \cos \alpha + \boldsymbol{w}_2 \sin \alpha \quad \text{och} \quad \boldsymbol{v}_2 = -\boldsymbol{w}_1 \sin \alpha + \boldsymbol{w}_2 \cos \alpha.

Då blir

\boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{v}_2 = -\boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{w}_1 \sin \alpha + \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{w}_2 \cos \alpha = -\frac{3}{2\sqrt{5}} \sin \alpha - \frac{1}{2\sqrt{5}} \cos \alpha, \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{w}_1 \cos \alpha + \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{w}_2 \sin \alpha = \frac{3}{2\sqrt{5}} \cos \alpha + \frac{1}{2\sqrt{5}} \sin \alpha

Genom att sätta dessa två uttryck lika fås att $\cos \alpha = -\sin \alpha$ , dvs. $\tan \alpha = -1$ , vilket ger att $\alpha = -\pi/4$ . ON-basen $\{\pmb{v}_1, \pmb{v}_2\}$ väljs därmed till

\boldsymbol{v}_1 = \frac{\boldsymbol{w}_1}{\sqrt{2}} - \frac{\boldsymbol{w}_2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}(1, -2, 2, 1) \quad \text{och} \quad \boldsymbol{v}_2 = \frac{\boldsymbol{w}_1}{\sqrt{2}} + \frac{\boldsymbol{w}_2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}(1, 2, 2, -1).