Lösningsförslag. Vi kan använda induktion över $n$ . Först kontrollerar vi basfallet $n = 1$ .

3^{3 \cdot 1 + 3} - 26 \cdot 1 - 27 = 27 \cdot 27 - 26 - 27 = 26 \cdot 27 - 26 = 26 \cdot 26.

Sedan antar vi att resultatet är sant för $n = k$ , dvs att

26^2 |3^{3k+3} - 26k - 27.

För att visa att påståendet är sant för $n = k + 1$ , kan vi subtrahera uttrycket för $n = k$ och visa att skillnaden är delbar med $26^2$ .

\begin{array}{l} \left(3^{3(k+1)+3} - 26(k+1) - 27\right) - \left(3^{3k+3} - 26k - 27\right) = 27 \cdot 3^{3k+3} - 26 - 3^{3k+3} \\ = 26 \cdot 3^{3k+3} - 26 \\ = 26 \cdot (3^{3k+3} - 1) \end{array}

Det återstår att visa att $3^{3k+3} - 1$ är delbart med 26. Betrakta $3^{3k+3}$ modulo 26:

3^{3k+3} = 3^{3 \cdot (k+1)} = (3^3)^{k+1} = 27^{k+1} \equiv 1^{k+1} \equiv 1 \mod 26

Alltså är $3^{3k+3} - 1 \equiv 0 \mod 26$ , och påstående gäller även för $n = k + 1$ . Enligt induktionsprincipen gäller det för alla $n \geq 1$ .

Vi kan också använda binomialsatsen

3^{3n+3} - 26n - 27 = 27^{n+1} - 26n - 27 = (26 + 1)^{n+1} - 26(n + 1) - 1.

I utvecklingen av $(26 + 1)^{n+1}$ , är alla termer utom de två sista delbara med $26^2$ . De sista två termerna är $26(n + 1)$ och 1, vilket bevisar påståendet.