Både $\mathbf{e}_i$ och $\mathbf{f}_i$ är enhetsvektorer med 1 i position $i$ , skillnaden är att $\mathbf{e}_i \in \mathbf{Z}_2^n$ medan $\mathbf{f}_i \in \mathbf{Z}_2^{n-k}$ .

Om $n = 2^{n - k - 1}$ så är $2^{n - k} - 1 \geq n$ , så den första uppgiften är lösbar. Vi kan välja $\mathbf{a}_n$ (checkmatrisen A:s sista kolonn) på $2^{n - k} - 1$ sätt. För varje $\mathbf{v} \in \mathbf{Z}_2^{n - k} \setminus \{\mathbf{0}, \mathbf{a}_n\}$ , låt $\mathbf{v}^* = \mathbf{v} + \mathbf{a}_n$ . Då löser $\mathbf{x} = \mathbf{e}_i + \mathbf{e}_j + \mathbf{e}_n$ , där $\mathbf{a}_j = \mathbf{a}_i^*$ , den andra uppgiften, ty

A \mathbf{x} = \mathbf{a}_i + \mathbf{a}_j + \mathbf{a}_n = \mathbf{a}_i + \mathbf{a}_i^* + \mathbf{a}_n = \mathbf{0},

så vi måste se till att högst en av $\mathbf{v}$ och $\mathbf{v}^*$ är en kolonn. Vi har $|\mathbf{Z}_2^{n - k} \setminus \{\mathbf{0}, \mathbf{a}_n\}| = 2^{n - k} - 2$ så antalet par $\{\mathbf{v}, \mathbf{v}^*\}$ är

\frac{2^{n - k} - 2}{2} = 2^{n - k - 1} - 1 = n - 1,

dvs. samma som antalet återstående kolonner. Alltså måste exakt en av $\mathbf{v}$ och $\mathbf{v}^*$ vara en kolonn, så de återstående kolonnerna kan väljas på $2^{n - 1}$ sätt. Slutligen kan dessa permuteras på $(n - 1)!$ sätt, så enligt multiplikationsprincipen är svaret

(2^{n - k} - 1) \cdot 2^{n - 1} \cdot (n - 1)!,

förutsatt att $A$ har full rang så att kodens dimensionen är $k$ . Så är fallet, ty de $n - k$ linjärt oberoende vektorerna $\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_{n - k}$ tillhör kolonnrummet $\operatorname{col}(A)$ , ty om $\mathbf{f}_i$ inte är en kolonn så är $\mathbf{f}_i^*$ det, så $\mathbf{f}_i = \mathbf{f}_i^* + \mathbf{a}_n \in \operatorname{col}(A)$ .