Lösning: Detta är Exempel 10 på s. 201 i Persson & Böiers. Om vi betraktar $r = r(x,y,z)$ som en funktion av $(x,y,z)$ så ger kedjeregeln

u _ {x} ^ {\prime} = f ^ {\prime} (r) \frac {\partial r}{\partial x} = f ^ {\prime} (r) \frac {x}{r},

där vi har använt att $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ . Ytterligare en derivering ger

\begin{array}{l} u _ {x x} ^ {\prime \prime} = f ^ {\prime \prime} (r) \frac {\partial r}{\partial x} \frac {x}{r} + f ^ {\prime} (r) \frac {1}{r} - f ^ {\prime} (r) \frac {x}{r ^ {2}} \frac {\partial r}{\partial x} \\ = f ^ {\prime \prime} (r) \frac {x ^ {2}}{r ^ {2}} + f ^ {\prime} (r) \frac {1}{r} - f ^ {\prime} (r) \frac {x ^ {2}}{r ^ {3}} = f ^ {\prime \prime} (r) \frac {x ^ {2}}{r ^ {2}} + f ^ {\prime} (r) \frac {r ^ {2} - x ^ {2}}{r ^ {3}}. \\ \end{array}

På samma sätt fås

u _ {y y} ^ {\prime \prime} = f ^ {\prime \prime} (r) \frac {y ^ {2}}{r ^ {2}} + f ^ {\prime} (r) \frac {r ^ {2} - y ^ {2}}{r ^ {3}}, \qquad u _ {z z} ^ {\prime \prime} = f ^ {\prime \prime} (r) \frac {z ^ {2}}{r ^ {2}} + f ^ {\prime} (r) \frac {r ^ {2} - z ^ {2}}{r ^ {3}}.

Addition av ovanstående uttryck ger

\Delta u = f''(r) \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^2} + f'(r) \frac{3r^2 - x^2 - y^2 - z^2}{r^3} = f''(r) + f'(r) \frac{2}{r}.

Alltså uppfyller $f(r)$ den ordinarie differentialekvationen $f''(r) + \frac{2}{r} f'(r) = 0$ .

Svar: $f''(r) + \frac{2}{r} f'(r) = 0$