Del 1: Metodbeskrivning

Deluppgift (i)

Steg 1:

Modellerna för ljudutbredning i kanaler enligt kursbokens kapitel 10 kräver plan vågutbredning. Vi börjar därför med att kontrollera om huvudrörets givna tvärsnittsstorlek medger att vi kan anta att vågor med plana vågfronter utbreder sig längs huvudrörets axelriktning. Plan vågutbredning gäller om alla störfrekvenser av intresse är lägre än första tvärsnittsmodens cut-on frekvens. Enligt tabell 10-1 gäller för ett cirkulärt tvärsnitt,

f_{01,cut-on} = 1,841 \cdot \frac{c}{\pi D} \ [\mathrm{Hz}]. \tag{1}

Antag att den högsta störfrekvensen av intresse, $180\ \mathrm{Hz}$ , uppfyller planvågsvillkoret,

\max(f_{stör}) < f_{01,cut-on} = 1,841 \cdot \frac{c}{\pi D}. \tag{2}

Här är $D$ [m] rörets diameter och $c$ [m/s] ljudhastigheten i luften. Ljudhastigheten hämtar vi från tabell 4-1.

Steg 2:

Bestäm volymflödets störfrekvenser ur den i lydelsen givna volymflödessignalen. Enligt diagrammet i lydelsen är volymflödet sågtandvågformat med periodtiden $T$ [ms]. Frekvensspektrum för en periodisk signal kan vi bestämma med Fourierserieutveckling. Kursbokens appendix D fall 12, Fourierserieutvecklingen för en sågtandvåg, visar att volymflödet innehåller energi vid frekvenser $f_n$ givna av,

f_n = n \cdot \frac{1}{T} \ [\mathrm{Hz}], \ n = 1, 2, 3, \dots. \tag{3}

Periodtiden $T$ läser vi av i lydelsens diagram. Därefter kan vi bestämma vilka av volymflödets frekvenskomponenter $f_n$ som ingår i problemets frekvensområde $20\ \mathrm{Hz} - 180\ \mathrm{Hz}$ .

Steg 3:

Dimensionera en Helmholtzresonator som ger maximal transmissionsisolering vid volymflödets grundfrekvens $f_1$ , se fomel (1). Enligt kursboken ger Helmholtzresonatorn maximal transmissionsisolering vid sin egenfrekvens. Om vi antar att resonatorns förluster är försumbara kan vi beräkna dess egenfrekvens $f_r$ med formel (10-65),

f_r = \frac{c}{2\pi} \sqrt{\frac{S_S}{L \cdot V}} \ [\mathrm{Hz}]. \tag{4}

Här är $c$ [m/s] mediets ljudhastighet, $S_S$ [m²] resonatorhalsens tvärsnittsarea, $L$ [m] resonatorhalsens längd och $V$ [m³] den sökta resonatorvolymen. I enlighet med lydelsen har vi försummat inverkan på halslängden från de inre och yttre ändkorrektionerna. Resonatorhalsens längd är given i lydelsen. Resonatorhalsens tvärsnittsarea kan vi beräkna ur den i lydelsen givna diametern $D_S$ [m] med formeln,

S _ {S} = \pi \cdot \left(\frac {D _ {S}}{2}\right) ^ {2} [ \mathrm {m} ^ {2} ]. \tag{5}

Helmholtzresonatorns volym bestämmer vi så att Helmholtzresonatorns egenfrekvens $f_{r}$ är lika med volymflödets grundfrekvens $f_{1}$ . Med detta villkor insatt i formel (4) blir resonator-volymen,

V = \frac {c ^ {2}}{(2 \pi) ^ {2}} \cdot \frac {S _ {S}}{L \cdot f _ {1} ^ {2}} = \frac {c ^ {2}}{(2 \pi) ^ {2}} \cdot \frac {\pi \left(D _ {S} / 2\right) ^ {2}}{L \cdot f _ {1} ^ {2}} = \frac {c ^ {2}}{1 6 \pi} \cdot \frac {D _ {S} ^ {2}}{L \cdot f _ {1} ^ {2}} [ \mathrm {m} ^ {3} ]. \tag{6}

Här har vi satt in resonatorhalsens area enligt formel (5). Formel (4) bygger på en modell som kräver att Helmholtzresonatorns komponenter kan betraktas som ett lumpat system, se kursboken avsnitt 10.3.3.2. I praktiken innebär detta att resonatorns hals och volym måste vara väsentligt, säg en faktor 10, mindre än ljudets våglängd. Detta skall vi kontrollera genom att anta att volymen är sfärisk och jämföra dess diameter med våglängden för den högsta störfrekvensen av intresse. Vi får villkoret,

d = 2 \cdot \sqrt [ 3 ]{\frac {3 V}{4 \pi}} < \frac {\lambda_ {\min}}{1 0} = \frac {c}{1 0 f _ {\max}} [ \mathrm {m} ]. \tag{7}

Deluppgift (ii)

För att kunna lösa problemet behöver vi beräkna frekvensspektrum för ljudeffekten i en punkt nedströms resonator innan och efter resonator monterats. Efter en Fourierserieutveckling av det givna volymflödet kan vi beräkna ljudeffektens frekvensspektrum innan installationen. Ljudeffekten efter installationen kräver dessutom beräkning av systemets insatsisolering, dvs förändringen i nivå när resonator installerats.

Steg 4:

Vi kan beräkna ljudeffektens frekvensspektrum innan installationen av resonator ur det givna volymflödets frekvensspektrum. Vid plan vågutbredning i röret ger (1-13) ett samband mellan ljudtrycket $p$ och partikelhastigheten $u$ [m/s],

p = \rho_ {0} c \cdot u [ \mathrm {P a} ]. \tag{8a}

Här är $\rho_0$ [kg/m³] mediets densitet som vi kan bestämma med tabell 4-1. För varje enskild frekvenskomponent gäller då,

\tilde {p} = \rho_ {0} c \cdot \tilde {u} [ \mathrm {P a} ]. \tag{8b}

Motsvarande ljudeffekt kan vi beräkna med (1-17),

\widetilde {W} = S \cdot \frac {\tilde {p} ^ {2}}{\rho_ {0} c} = S \cdot \rho_ {0} c \cdot \tilde {u} ^ {2} [ \mathrm {W} ]. \tag{9}

Här är $S$ [m²] rörets tvärsnittsarea. I sista ledet är ljudtrycket ersatt med partikelhastigheten enligt (8b). Vid plan vågutbredning är det akustiska volymflödet $Q$ [m³/s] lika med partikelhastigheten multiplicerat med rörets tvärsnittsarea. Alltså får vi med (9),

\widetilde {W} = S \cdot \rho_ {0} c \cdot \tilde {u} ^ {2} = \rho_ {0} c \cdot \frac {\tilde {Q} ^ {2}}{S} [ \mathrm {W} ]. \tag{10}

Det akustiska volymflödets effektivvärdeskvadrat vid de aktuella frekvenskomponenterna får vi genom att Fourierserieutveckla luftflödets tidssignal. Kursbokens appendix D, fall 12 (sågtandvåg), ger med en lämpligt vald skalfaktor $Q_{skal}$ [m³/s] Fourierseriekoefficienterna $\mathbf{Q}_m$ ,

\mathbf {Q} _ {m} = Q _ {skal} \cdot \frac {(- 1) ^ {m + 1}}{i m \pi} [ \mathrm {m} ^ {3} / \mathrm {s} ], m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots . \tag{11}

Skalfaktorn sätter vi till,

Q _ {skal} = \frac {Q _ {\max} - Q _ {\min}}{2} [ \mathrm {m} ^ {3} / \mathrm {s} ], \tag{12}

där $Q_{max}$ [m³/s] och $Q_{min}$ [m³/s] är volymflödets maximala och minimala värden. Detta val avbildar kursbokens volymflöde appendix D fall 12 på lydelsens.

Akustiska volymflödets effektivvärdeskvadrat bestämmer vi ur Fourierkoefficienterna med Parsevalss relation (3-123),

\widehat{Q}^2(f_n) = 2|Q_n|^2 = 2Q_nQ_n^* = Q_{skal}^2 \cdot \frac{1}{(n\pi)^2} \left[(\mathrm{m}^3/\mathrm{s})^2\right], \quad n = 1, 2, 3, \dots. \tag{13}

Efter insättning av (13) i (10) får vi ljudeffektens tidsmedelvärde vid störfrekvenserna innan installationen av resonatoren,

\widehat{W}_{innan}(f_n) = \rho_0 c \cdot \frac{\widehat{Q}^2(f_n)}{S} = \frac{Q_{skal}^2}{(n\pi)^2} \cdot \frac{\rho_0 c}{S} \text{ [W]}, \quad n = 1, 2, 3, \dots. \tag{14}

Ljudeffektnivåns frekvensspektrum bestämmer vi genom att sätta in ljudeffekterna i kursbokens definitionssamband (1-24),

L_W(f_n) = 10 \cdot \log \frac{\widehat{W}(f_n)}{W_{ref}} \text{ [dB]}, \quad W_{ref} = 1,0 \cdot 10^{-12} \text{ W}. \tag{15}

Steg 5:

Vi behöver bestämma systemets insatsisolering $D_{IL}$ [dB] vid störfrekvenserna $f_n$ . Enligt lydelsen kan både källa och avslutning anses vara reflexfria. Detta innebär enligt kursboken avsnitt 10.1.1 och lydelsen att systemets insatsisolering kan ersättas med resonatorns transmissionsisolering $D_{TL}$ [dB]. Insatsisoleringen vid frekvensen $f_n$ blir alltså,

D_{IL}(f_n) = D_{TL}(f_n) \text{ [dB]}. \tag{16}

Steg 6:

Transmissionsisoleringen vid frekvensen $f_n$ kan vi beräkna med kursbokens formel (10-50),

D_{TL}(f_n) = 10 \cdot \log \left|1 + \frac{\rho_0 c S_S}{2 S Z_S(f_n)}\right|^2 = 10 \cdot \log \left|1 + \frac{\rho_0 c D_S^2}{2 D^2 Z_S(f_n)}\right|^2 \text{ [dB]}. \tag{17}

Här har vi i sista ledet använt halsens och rörets tvärsnittsareor beräknade med formel (5). Rörets diameter är $D$ [m]. Helmholtzresonatorns inimpedans $Z_S$ beräknar vi med (10-64),

\begin{aligned} Z_S(f_n) = & i 2\pi f_n \rho_0 L + \frac{\rho_0 c^2 S_S}{i 2\pi f_n V} = \\ & = i 2\pi f_n \rho_0 L + \frac{\rho_0 c^2 \pi (D_S / 2)^2}{i 2\pi f_n V} = i 2\pi f_n \rho_0 L + \frac{\rho_0 c^2 D_S^2}{i 8 f_n V} [\mathrm{kg}/(\mathrm{m}^2\mathrm{s})]. \tag{18} \end{aligned}

Här är alla data kända från lydelsen eller tidigare beräkningssteg. Observera att transmissionsisoleringen vid volymflödets grundfrekvens redan vid dimensioneringen av resonatorvolymen bestämts till $-\infty$ .

Steg 7:

Antag att systemet är linjärt: Då gäller att förändringen i ljudeffektnivå är lika med förändringen i ljudtrycksnivå. I kombination med kursbokens definition av insatsisolering, formel (10-2) och formel (16) ovan ger detta,

L_{W, efter}(f_n) = L_{W, innan}(f_n) - D_{IL}(f_n) = L_{W, innan}(f_n) - D_{TL}(f_n) \text{ [dB]}. \tag{19}

Steg 8:

Den totala ljudeffektnivån i frekvensintervallet $20\,\mathrm{Hz} - 180\,\mathrm{Hz}$ nedströms resonatoren kan vi beräkna genom att nivåsummera de frekvenskomponenter som ingår i intervallet. Använd formel (1-42) tillämpad på ljudeffektnivåer,

L _ {W} = 1 0 \cdot \log \left(\sum_ {n} 1 0 ^ {L _ {W} \left(f _ {n}\right) / 1 0}\right) [ \mathrm {d B} ]. \tag{20}