Steg 1:
Ändringen i bidraget till ljudtrycksnivån vid en viss frekvens blir med ljudtrycksnivåns definition (1-27),

\Delta L _ {p} (f) = 1 0 \cdot \log \frac {\tilde {p} _ {f o r e} ^ {2} (f)}{p _ {r e f} ^ {2}} - 1 0 \cdot \log \frac {\tilde {p} _ {e f t e r} ^ {2} (f)}{p _ {r e f} ^ {2}} = 1 0 \cdot \log \frac {\tilde {p} _ {f o r e} ^ {2} (f)}{\tilde {p} _ {e f t e r} ^ {2} (f)} [ \mathrm {d B} ]. \tag {1}

Vi behöver alltså bestämma kvoten mellan ljudtryckets effektivvärdeskvadrat före och efter förändringen vid den aktuella resonansfrekvensen.

Steg 2:
Eftersom vi känner kraftpulsen före och efter förändringen kan vi ta fram ett uttryck för kvoten mellan ljudtryckets frekvensspektrum före och efter förändringen om vi antar att systemet är linjärt. För ett linjärt system kan ljudtrycket skrivas med formel (3-57),

\mathbf {p} (\omega) = \mathbf {H} _ {p F} (\omega) \cdot \mathbf {F} (\omega) [ \mathrm {P a} ]. \tag {2}

Här är $\mathbf{p}$ och $\mathbf{F}$ Fouriertransformerna av pulsens bidrag till ljudtrycket och kraften, och $\mathbf{H}_{pF}$ frekvenssvarsfunktionen mellan den exciterande kraften och ljudtryckssvaret. Eftersom det ljudstrålade systemet inte påverkas av förändringen gäller för kvoten mellan ljudtryckssvarens Fouriertransformer,

\frac {\mathbf {p} _ {f o r e} (\omega)}{\mathbf {p} _ {e f t e r} (\omega)} = \frac {\mathbf {H} _ {p F} (\omega) \cdot \mathbf {F} _ {f o r e} (\omega)}{\mathbf {H} _ {p F} (\omega) \cdot \mathbf {F} _ {e f t e r} (\omega)} = \frac {\mathbf {F} _ {f o r e} (\omega)}{\mathbf {F} _ {e f t e r} (\omega)} [ \mathrm {P a / P a} ]. \tag {3}

Enligt Parsevalens formel (3-128) är kvadraten av absolutbeloppet av en signals Fouriertransform ett mått på dess energiinnehåll som funktion av frekvensen. Därför kan vi skriva kvoten mellan ljudtryckets effektivvärdeskvadrater vid den aktuella resonansfrekvensen,

\frac {\tilde {p} _ {f o r e} ^ {2} (\omega)}{\tilde {p} _ {e f t e r} ^ {2} (\omega)} = \frac {\left| \mathbf {p} _ {f o r e} (\omega) \right| ^ {2}}{\left| \mathbf {p} _ {e f t e r} (\omega) \right| ^ {2}} = \frac {\left| \mathbf {F} _ {f o r e} (\omega) \right| ^ {2}}{\left| \mathbf {F} _ {e f t e r} (\omega) \right| ^ {2}} [ \mathrm {P a} ^ {2} / \mathrm {P a} ^ {2} ]. \tag {4}

Steg 3:
Kraftpulsens Fouriertransform $\mathbf{F}$ kan vi hämta från Appendix C, fall 14, med $T_{1} = T_{2}$ och $T = 2T_{1}$ . Efter förenklingar får vi,

\begin{array}{l} \mathbf {F} (\omega) = F _ {s k a l} \cdot \left[ \left(\frac {1}{i \omega} + \frac {\frac {\omega}{i}}{\frac {\pi^ {2}}{T _ {1} ^ {2}} - \omega^ {2}}\right) \cos \left(\frac {\omega T _ {1}}{2}\right) e ^ {- i \frac {\omega T _ {1}}{2}} - K \right. \\ K - \left(\frac {1}{i \omega} + \frac {\frac {\omega}{i}}{\frac {\pi^ {2}}{(T - T _ {2}) ^ {2}} - \omega^ {2}}\right) \cos \left(\frac {\omega (T - T _ {2})}{2}\right) e ^ {- i \frac {\omega (T + T _ {2})}{2}} ] = \\ = \frac {F _ {s k a l}}{i} \cdot \left(\frac {1}{\omega} + \frac {\omega}{\frac {(2 \pi) ^ {2}}{T ^ {2}} - \omega^ {2}}\right) \cdot \sin \left(\frac {\omega T}{2}\right) \cdot e ^ {- i \frac {\omega T}{2}} = \\ = \frac {F _ {s k a l}}{i} \cdot \frac {(2 \pi) ^ {2}}{\omega \cdot ((2 \pi) ^ {2} - (\omega T) ^ {2})} \cdot \sin \left(\frac {\omega T}{2}\right) \cdot e ^ {- i \frac {\omega T}{2}} \tag {5} \end{array}

Efter insättning av (5) i (4) får vi kvoten mellan ljudtryckets effektivvärdeskvadrater,