Vi har ett censurerat stickprov av typ II.

För $t > 0$ gäller att tätthetsfunktionen är $f(t) = \lambda^2 te^{-\lambda t}$ .

Funktionssannolikheten är

\begin{array}{l} 1 - F (t) = \int_ {t} ^ {\infty} f (x) d x = \int_ {t} ^ {\infty} \lambda^ {2} x e ^ {- \lambda x} d x = \int_ {\lambda t} ^ {\infty} u e ^ {- u} d u = [ - u e ^ {- u} ] _ {\lambda t} ^ {\infty} - \int_ {\lambda t} ^ {\infty} - e ^ {- u} d u \\ = [ - u e ^ {- u} ] _ {\lambda t} ^ {\infty} + [ - e ^ {- u} ] _ {\lambda t} ^ {\infty} = \lambda t e ^ {- \lambda t} + e ^ {- \lambda t} = e ^ {- \lambda t} (\lambda t + 1). \end{array}

Totala antalet observationer är $n = 5$ .

Antalet ickecensurerade observationer är $r = 2$ .

Minsta observationen är $t_{(1)} = 2.2$ år.

Näst minsta observationen är $t_{(2)} = 2.6$ år.

Likelihoodfunktionen är

\begin{array}{l} L (\lambda) = \frac {5 !}{(5 - 2) !} f (t _ {(1)}) f (t _ {(2)}) (1 - F (t _ {(2)})) ^ {5 - 2} = 2 0 \lambda^ {2} t _ {(1)} e ^ {- \lambda t _ {(1)}} \lambda^ {2} t _ {(2)} e ^ {- \lambda t _ {(2)}} \left(e ^ {- \lambda t _ {(2)}} (\lambda t _ {(2)} + 1)\right) ^ {3} \\ = 2 0 t _ {(1)} t _ {(2)} e ^ {- \lambda (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})} \lambda^ {4} (\lambda t _ {(2)} + 1) ^ {3} \end{array}

Logaritmen av den är

\ln (L (\lambda)) = \ln (2 0 t _ {(1)} t _ {(2)}) - \lambda (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) + 4 \ln (\lambda) + 3 \ln (\lambda t _ {(2)} + 1)

Derivatan av denna logaritm är

\frac {d (\ln (L (\lambda)))}{d \lambda} = - (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) + \frac {4}{\lambda} + \frac {3 t _ {(2)}}{\lambda t _ {(2)} + 1}

För att maximera $L(a)$ söks nollställen $\lambda = \lambda^{*}$ till denna derivata.

\begin{array}{l} 0 = - (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) + \frac {4}{\lambda^ {*}} + \frac {3 t _ {(2)}}{\lambda^ {*} t _ {(2)} + 1} \Leftrightarrow \\ 0 = - (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) \lambda^ {*} (\lambda^ {*} t _ {(2)} + 1) + 4 (\lambda^ {*} t _ {(2)} + 1) + 3 \lambda^ {*} t _ {(2)} \Leftrightarrow \\ 0 = - t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) (\lambda^ {*}) ^ {2} - (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) \lambda^ {*} + 4 + 4 \lambda^ {*} t _ {(2)} + 3 \lambda^ {*} t _ {(2)} \Leftrightarrow \\ 0 = - t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) (\lambda^ {*}) ^ {2} + (3 t _ {(2)} - t _ {(1)}) \lambda^ {*} + 4 \Leftrightarrow \\ 0 = t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)}) (\lambda^ {*}) ^ {2} - (3 t _ {(2)} - t _ {(1)}) \lambda^ {*} - 4 \Leftrightarrow \\ 0 = (\lambda^ {*}) ^ {2} - \frac {3 t _ {(2)} - t _ {(1)}}{t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})} \lambda^ {*} - \frac {4}{t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})} \Leftrightarrow \\ \lambda^ {*} = \frac {3 t _ {(2)} - t _ {(1)}}{2 t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})} \pm \sqrt {\left(\frac {3 t _ {(2)} - t _ {(1)}}{2 t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})}\right) ^ {2} + \frac {4}{t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})}}. \end{array}

Eftersom $\lambda^{*} > 0$ gäller

\lambda^ {*} = \frac {3 t _ {(2)} - t _ {(1)}}{2 t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})} + \sqrt {\left(\frac {3 t _ {(2)} - t _ {(1)}}{2 t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})}\right) ^ {2} + \frac {4}{t _ {(2)} (t _ {(1)} + 4 t _ {(2)})}}.

Med insatta värden fås

\lambda^ {*} = \frac {3 \cdot 2 . 6 - 2 . 2}{2 \cdot 2 . 6 \cdot (2 . 2 + 4 \cdot 2 . 6)} + \sqrt {\left(\frac {3 \cdot 2 . 6 - 2 . 2}{2 \cdot 2 . 6 \cdot (2 . 2 + 4 \cdot 2 . 6)}\right) ^ {2} + \frac {4}{2 . 6 \cdot (2 . 2 + 4 \cdot 2 . 6)}} \mathrm {a r} ^ {- 1} \approx 0. 4 4 5 \mathrm {a r} ^ {- 1}.

SVAR: ML-skattningen är $\lambda^{*} = 0.445\ \mathrm{ar}^{-1}$ .