Vi har ett stickprov av typ II. $n = 5$ och $r = 3$ . $t_{(1)} = 3.2$ . $t_{(2)} = 3.5$ . $t_{(3)} = 5.0$ .

Täthetsfunktionen är

f_\theta(t) = \begin{cases} \frac{2t}{\theta^2}, & \text{om } 0 < t < \theta, \\ 0 & \text{annars}. \end{cases}

Likelihoodfunktionen är

L(\theta) = \frac{5!}{(5 - 3)!} \cdot \frac{2 \cdot 3.2}{\theta^2} \cdot \frac{2 \cdot 3.5}{\theta^2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{\theta^2} \left(1 - \frac{5^2}{\theta^2}\right)^{5 - 3} = \frac{5!}{(5 - 3)!} \cdot 2 \cdot 3.2 \cdot 2 \cdot 3.5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{\theta^6} \left(1 - \frac{25}{\theta^2}\right)^2.

Vi logaritmerar och får

\ln(L(\theta)) = \ln\left(\frac{5!}{(5 - 3)!} \cdot 2 \cdot 3.2 \cdot 2 \cdot 3.5 \cdot 2 \cdot 5\right) - 6 \ln \theta + 2 \ln\left(1 - \frac{25}{\theta^2}\right).

Derivatan är

\frac{d}{d\theta} (\ln(L(\theta))) = -\frac{6}{\theta} + \frac{2}{1 - \frac{25}{\theta^2}} \cdot \frac{50}{\theta^3} = -\frac{6}{\theta} + \frac{2 \cdot 50}{\theta^3 - 25\theta} = \frac{2}{\theta} \cdot \left(-3 + \frac{50}{\theta^2 - 25}\right).

Vi söker derivatans nollställen.

\begin{array}{l} \frac{2}{\theta} \cdot \left(-3 + \frac{50}{\theta^2 - 25}\right) = 0 \\ -3 + \frac{50}{\theta^2 - 25} = 0 \\ \frac{50}{\theta^2 - 25} = 3 \\ 50 = 3(\theta^2 - 25) \\ \theta^2 - 25 = \frac{50}{3} \\ \theta^2 = 25 + \frac{50}{3} \\ \theta = \sqrt{25 + \frac{50}{3}}, \quad \theta > 0 \\ \theta = 6.45497\ldots \\ \end{array}

SVAR: ML-skattningen är $\theta^* = 6.5$ år.