$N = ae^{bt}$

\ln (N) = \ln (a) + b t.

Vi utför enkel, linjär regression med $t$ som oberoende och $\ln (N)$ som beroende variabel.

\sum_{i=1}^{6} t_i = (0 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50) \text{ år} = 150 \text{ år} \sum_{i=1}^{6} t_i^2 = (0^2 + 10^2 + 20^2 + 30^2 + 40^2 + 50^2) \text{ år}^2 = 5500 \text{ år}^2 \sum_{i=1}^{6} \ln(N_i) = \ln(45.1 \cdot 10^6) + \dots + \ln(158.5 \cdot 10^6) = 109.45143 \dots \sum_{i=1}^{6} t_i \ln(N_i) = 0 \cdot \ln(45.1 \cdot 10^6) + \dots + 50 \cdot \ln(158.5 \cdot 10^6) \text{ år} = 2780.7247889 \text{ år} \dots S_{tt} = \sum_{i=1}^{6} t_i^2 - \frac{\left(\sum_{i=1}^{6} t_i\right)^2}{6} = 5500 - \frac{150^2}{6} \text{ år}^2 = 1750 \text{ år}^2 \begin{aligned} S_{t \ln(N)} &= \sum_{i=1}^{6} t_i \ln(N_i) - \frac{\left(\sum_{i=1}^{6} t_i\right) \left(\sum_{i=1}^{6} \ln(N_i)\right)}{6} \\ &= 2780.7247889 \dots + \frac{150 \cdot 109.45143 \dots}{6} \text{ år} = 44.43896898 \dots \text{ år} \end{aligned} b^* = \frac{S_{t \ln(N)}}{S_{tt}} = \frac{44.43896898 \dots}{1750} \text{ år}^{-1} = 0.025393696560 \text{ år}^{-1} \dots \ln(a)^* = \frac{\sum_{i=1}^{6} \ln(N_i)}{6} - b^* \frac{\sum_{i=1}^{6} t_i}{6} = \frac{109.45143 \dots}{6} - 0.025393696560 \dots \cdot \frac{150}{6} = 17.60706305240 \dots a^* = e^{\ln(a)^*} = e^{17.60706305240 \dots} = 4.4325161453 \dots \cdot 10^7.

Vi har

\ln(N) = \ln(a) + bt t = \frac{\ln(N) - \ln(a)}{b}.

Vi sätter in skattningarna $t = \frac{\ln(N) - \ln(a)^*}{b^*}$ .

Med insatta värden $t = \frac{\ln(100 \cdot 10^6) - 17.60706305240 \dots}{0.025393696560 \dots} \text{ år} = 32.04 \dots$ år.

Årtalet låg 32 år efter 1960 så årtalet var 1992.

SVAR: $a^* = 4.43 \cdot 10^7$ . $b^* = 0.0254$ år $^{-1}$ . Årtalet var 1992.