Estimatorerna är väntevärdesriktiga om $E(\lambda_i) = \lambda$

\begin{array}{l} X \sim P_0(2\lambda) \text{ ger att } E(X) = 2\lambda, \, V(X) = 2\lambda \\ Y \sim P_0(3\lambda) \text{ ger att } E(Y) = 3\lambda, \, V(Y) = 3\lambda \\ E(\lambda_1^*) = E\left(\frac{1}{2}\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{2}\right)\right)^{(6)} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}E(X) + \frac{1}{3}E(Y)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}2\lambda + \frac{1}{3}3\lambda\right) = \frac{1}{2}(\lambda + \lambda) = \lambda \\ E(\lambda_2^*) = E\left(\frac{X + Y}{5}\right)^{(6)} \frac{1}{5}\left(E(X) + E(Y)\right) = \frac{1}{5}(2\lambda + 3\lambda) = \lambda \\ \end{array}

Så både $\lambda_i^*$ och $\lambda_2^*$ är väntevärdesriktiga.

\begin{array}{l} V(\lambda_i^*) = V\left(\frac{1}{2}\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{2}\right)\right)^{(9)} \left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}V(X) + \frac{1}{3}V(Y)\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}2\lambda + \frac{1}{7}3\lambda\right) \\ = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{7}\lambda\right) = \frac{\sum}{24}\lambda \\ \end{array} V(\lambda_2^*) = V\left(\frac{X + Y}{5}\right)^{(2)} \left(\frac{1}{5}\right)^2\left(V(X) + V(Y)\right) = \frac{1}{27}(2\lambda + 3\lambda) = \frac{1}{5}\lambda \begin{array}{l} V(\lambda_i^*) = \frac{\sum}{24}\lambda > \frac{\sum}{27}\lambda = \frac{1}{5}\lambda = V(\lambda_2^*) \\ \text{så } \lambda_2^* \text{ är effektivast} \\ \end{array}

Svar: Både $\lambda_1^*$ och $\lambda_2^*$ är väntevärdesriktiga.

$\lambda_2^*$ är effektivast