$x^2 y^2 - 3x y^2 + 4y = x + 2x^3$
DET EN ENFELERKEUVATION.
VARIABELBYTET: $x = e^t$ , $y(x) = y(e^t) = z(t)$
GER $x y^2 = z^2$ & $x^2 y^2 = z^2 - z^1$ .
EKVATIONEN BUR NV: $z^2 - z^2 - 3z^2 + 4z = e^t + 2e^3t$
(≈) $z^2 - 4z^2 + 4z = e^t + 2e^3t$
"HOMOGEN + PARTIKELJÄN"
HOMOGEN KON. EKV.: $r^2 - 4r + 4 = 0$ (≈)
$r = 2 \pm \sqrt{4 - 4} = 2$ MULT. 2
$\therefore z_h = A e^{2t} + B t e^{2t}$
PARTIKELLE DELA VIR I TVI OGLAN, EN FÖR
$e^t$ OCH EN FÖR $2e^3t$
I: ANSATS: $z_r = a e^t$ , $z'_r = a e^t$ , $z''_r = a e^t$
IN I EKV. $a e^t - 4a e^t + 4a e^t = e^t$ (≈) $a = 1$
$\therefore z_{p_1} = e^t$
II: ANSATS $z_{p_2} = a e^{3t}$ , $z'_p = 3a e^{3t}$
$z''_{p_2} = 9a e^{3t}$ . W I EKV.:
$9a e^{3t} - 4 \cdot 3a e^{3t} + 4a e^{3t} = 2e^{3t} \rightarrow$
$9a - 12a + 4a = 2$ (≈) $a = 2$
$\therefore z_n = 2e^{3t}$
$\therefore z_p = e^t + 2e^{3t}$
$\therefore z = z_h + z_p = A e^{2t} + B t e^{2t} + e^t + 2e^{3t}$
$\therefore y = A x^2 + B x^2 \ln x + x + 2x^3$