(b) Krav för att de två vågfunktionerna ska vara ortogonala:

\begin{array}{l} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{0}^{*} \varphi_{1} dx = 0 \\ \varphi_{0} = \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} e^{-0.5\alpha x^{2}} \\ \varphi_{1} = \left(\frac{4\alpha^{3}}{\pi}\right)^{1/4} x e^{-0.5\alpha x^{2}} \end{array} \begin{array}{l} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-0,5\alpha x^{2}} \left(\frac{4\alpha^{3}}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} x e^{-0,5\alpha x^{2}} dx = \left(\frac{4\alpha^{3}}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-0,5\alpha x^{2}} x e^{-0,5\alpha x^{2}} dx = \\ \left(\frac{4\alpha^{4}}{\pi^{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\alpha x^{2}} dx = \left(\frac{4\alpha^{4}}{\pi^{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \left(\int_{-\infty}^{0} x e^{-\alpha x^{2}} dx + \int_{0}^{\infty} x e^{-\alpha x^{2}} dx\right) = \\ \left(\frac{4\alpha^{4}}{\pi^{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \left(-\int_{0}^{\infty} x e^{-\alpha x^{2}} dx + \int_{0}^{\infty} x e^{-\alpha x^{2}} dx\right) = 0 \Rightarrow \text{Ortogonala} \end{array}

Man kan även se att funktionen är udda och integralen från minus oändligheten till oändligheten blir då = 0.