a) Vi söker talet $ x $ så att $ \overrightarrow{AT} = x \overrightarrow{AA_1} $.

och talet $ y $ så att $ \overrightarrow{BT} = y \overrightarrow{BB_1} $

Vidare betecknar vi $ \vec{a} = \vec{AB} $, $ \vec{b} = \vec{AC} $ och uttrycker $ \overrightarrow{AT} $ som en linjär kombination av $ \vec{a} $ och $ \vec{b} $ på två olika sätt:

i) $ \vec{AT} = x \vec{AA_1} = x (\vec{AB} + \vec{BA_1}) = x (\vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})) = \frac{x}{2} \vec{a} + \frac{x}{2} \vec{b} $ (*)

Andra sätt att beräkna vektorn $ \vec{AT} $: Vi går genom punkten B.

ii) $\vec{AT} = \vec{AB} + \vec{BT} = \vec{AB} + y\vec{BB}_1 = \vec{a} + y(-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = (1 - y)\vec{a} + \frac{y}{2}\vec{b}$ (**)

Från (*) och (**) har vi

\frac {x}{2} \vec {a} + \frac {x}{2} \vec {b} = (1 - y) \vec {a} + \frac {y}{2} \vec {b}

eller (om vi skriver $\vec{a}$ , $\vec{b}$ på var sin sida)

(\frac {x}{2} + y - 1) \vec {a} = (\frac {y}{2} - \frac {x}{2}) \vec {b} \quad (***)

Eftersom $\vec{a}$ , $\vec{b}$ är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är uppfyllda

\frac {x}{2} + y - 1 = 0 \quad \text{och} \quad \frac {y}{2} - \frac {x}{2} = 0.

Från $\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 0$ har vi $x = y$ som vi substituerar i $\frac{x}{2} + y - 1 = 0$ och får

\frac {x}{2} + x - 1 = 0 \Rightarrow \frac {3 x}{2} = 1 \Rightarrow x = \frac {2}{3}.

Därmed $y = x = \frac{2}{3}$ .

Alltså, vi har fått $\vec{AT} = x\vec{AA}_1 = \frac{2}{3}\vec{AA}_1$ och $\vec{BT} = y\vec{BB}_1 = \frac{2}{3}\vec{BB}_1$ .

Därmed 2/3 delar av medianen $\mathrm{AA}_1$ ligger mellan hörnet A och T och 1/3 mellan T och sidans mittpunkt A1.

Alltså T delar $\mathrm{AA}_1$ i förhållandet 2:1.