b)

Linjen genom $\mathrm{B} = (2,3,3)$ som är parallell med den givna linjen har en riktningsvektor $(1,1,1)$ . Alltså går laserstråle längs linjen $\mathrm{L}_2$ : $(x,y,z) = (2,3,3) + t(1,1,1)$ .

Skärningspunkten mellan $\mathrm{L}_2$ och planet $\Pi$ får vi genom att

\begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 3 + t \\ z = 3 + t \\ \end{array}

substitueras i $x + y + 2z = 3$ . Vi får

$2 + t + 3 + t + 6 + 2t = 3$ som ger $t = -2$ . Därmed är skärningspunkten $\mathbb{R} = (0,1,1)$ .

Den reflekterade strålen går genom R. Låt $\vec{v} = \overrightarrow{RB} = (2,2,2)$ och låt $\vec{N} = (1,1,2)$ (dvs. $\vec{N}$ är planets normalvektor). För att bestämma $\overrightarrow{RS}$ , dvs. riktningen för den sökta linjen, beräknar vi först projektionen

\begin{array}{l} \vec{w} = \operatorname{proj}_{\vec{N}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{N}}{\vec{N} \cdot \vec{N}} \cdot \vec{N} = \frac{2 + 2 + 4}{1 + 1 + 4} (1,1,2) = \frac{4}{3} (1,1,2). \\ \text{Då är } \overrightarrow{RS} = \vec{v} + 2 \overrightarrow{BT} = \vec{v} + 2 (-\vec{v} + \vec{w}) = 2 \vec{w} - \vec{v} = \frac{8}{3} (1,1,2) - (2,2,2) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{10}{3}\right). \\ \end{array}

Alltså är $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{10}{3}\right)$ en riktningsvektor för den sökta linjen. Vi kan även välja $(1,1,5)$ för linjens riktningsvektor. Den reflekterade strålen går längs linjen

(x, y, z) = (0,1,1) + t(1,1,5)

Svar:

b) $(x,y,z) = (0,1,1) + t(1,1,5)$