Metod 1. Vektorerna är oberoende om rader i matrisen

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2 & -1 & -4 \end{bmatrix}

är linjärt oberoende, dvs om matrisens rang är 3. Vektorerna är beroende om matrisens rang är $\leq 2$ .

\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ - 2 & - 1 & - 4 \end{array} \right] \sim (- 3 R 1 + R 2) \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} \right] \sim (- R 2 + R 3) \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

Två ledande ettor i trappstegsform implicerar att matrisens rang är 2 och därmed är vektorerna linjärt beroende (den tredje vektor beror av de första två).

Metod 2.

De tre tredimensionella vektorerna är beroende om och endast om determinanten

\left| \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ - 2 & - 1 & - 4 \end{array} \right| \text{är lika med 0}. \text{Vi har} \left| \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ - 2 & - 1 & - 4 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c} 4 & 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c c} 3 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c c c} 3 & 4 \\ - 2 & - 1 \end{array} \right| = (- 16 + 1) - (- 12 + 2) + (- 3 + 8) =

= -15 + 10 + 5 = 0 och därmed är vektorerna beroende. (Vad skulle visas)

Metod 3.

Vektorerna $\overrightarrow{v_1}$ , $\overrightarrow{v_2}$ och $\overrightarrow{v_3}$ är linjärt beroende om och endast om det finns tal $k_1, k_2$ och $k_3$ , som inte alla är 0, så att $k_1\overrightarrow{v_1} + k_2\overrightarrow{v_2} + k_3\overrightarrow{v_3} = \vec{0}$ .

k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ 3k_1 + 4k_2 + k_3 = 0 \\ -2k_1 - k_2 - 4k_3 = 0 \end{cases} \quad \begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_2 - 2k_3 = 0 \\ k_2 - 2k_3 = 0 \end{cases} \quad \begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_2 - 2k_3 = 0 \\ 0 = 0 \end{cases}

Ekv.1*(-3)+Ekv.2

Ekv.1*2+Ekv.3

Låt $k_3 = t$ , då $k_2 = 2t$ och $k_3 = -3t$

Väljer t.ex. $t = 1$ . Alltså, $k_1 = 1$ $k_2 = 2$ och $k_3 = -3$ .

Alltså $\overrightarrow{1v_1} + \overrightarrow{2v_2} - \overrightarrow{3v_3} = \vec{0}$ och vi har visat att $\overrightarrow{v_1}$ , $\overrightarrow{v_2}$ och $\overrightarrow{v_3}$ är linjärt beroende.

Anmärkning: Vektor $\overrightarrow{v_3}$ kan uttryckas som en linjärkombination av vektorerna $\overrightarrow{v_1}$ och $\overrightarrow{v_2}$ , t.ex.

$(1,1,-4) = 3(1,3,-2) - 2(1,4,-1)$