Tips: Spänningsfallet över en resistor med resistansen R är lika med $R \cdot i(t)$ eller kortare $U_{R} = R \cdot i(t)$ . Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C och laddningen $q(t)$ är lika med $q(t) / C$ , dvs $U_{C} = \frac{q(t)}{C}$ . Dessutom gäller $q'(t) = i(t)$ .

Lösning:

u_{R}(t) + u_{C}(t) = U_{0} R \cdot i(t) + \frac{q(t)}{C} = U_{0} 200i(t) + 5q(t) = 24 \quad (*)

För att få en ekvation med EN obekant funktion kan eliminerar vi antingen $q(t)$ eller $i(t)$ ur $(*)$ . Eftersom vi ska beräkna $U_{C} = \frac{q(t)}{C}$ är det mindre räkning om vi eliminerar $i(t)$ som vi gör i metod 1.

Vi ska beräkna

METOD 1.

Eliminera $i(t)$ ur ekvationen $200i(t) + 5q(t) = 24$ :

200 \cdot q'(t) + 5q(t) = 24 q'(t) + \frac{1}{40} q(t) = \frac{3}{25} q(t) = D e^{-\frac{1}{40} t} + \frac{24}{5} q(0) = 0 \Rightarrow 0 = D e^{0} + \frac{24}{5} \Rightarrow D = -\frac{24}{5} q(t) = -\frac{24}{5} e^{-\frac{1}{40} t} + \frac{24}{5} U_{c}(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{1}{1/5} \left( -\frac{24}{5} e^{-\frac{1}{40} t} + \frac{24}{5} \right) = -24 e^{-\frac{1}{40} t} + 24

Svar:

U_{c}(t) = 24 \left(1 - e^{-\frac{1}{40} t} \right)

METOD 2. Eliminera $q(t)$ ur ekvationen genom att derivera ekvationen $200i(t) + 5q(t) = 24$ .

Vi får

200i'(t) + 5i(t) = 0

Villkoret

q(0) = 0

och

200i(t) + 5q(t) = 24

ger villkoret för

i(0)

:

200i(0) + 5q(0) = 24 \Rightarrow i(0) = \frac{24}{200} = \frac{3}{25}.

Därmed har vi ekvationen

200i'(t) + 5i(t) = 0 \quad \text{med villkoret} \quad i(0) = \frac{3}{25}.

Den karakteristiska ekv:

200r + 5 = 0 \Rightarrow r = -\frac{1}{40}

och därmed

i(t) = A e^{-\frac{1}{40} t}.

Från

i(0) = \frac{3}{25}

har vi

A = \frac{3}{25}

och därmed

i(t) = \frac{3}{25} e^{-\frac{1}{40} t}.

Vi bestämmer

q(t)

med hjälp av sambandet

q'(t) = i(t)

, som ger

q(t) = \int i(t) \, dt = \frac{3}{25} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{40} t}}{-\frac{1}{40}} + B = -\frac{24}{5} \cdot e^{-\frac{1}{40} t} + B. q(0) = 0 \Rightarrow 0 = B = \frac{24}{5} \text{ och därmed } q(t) = -\frac{24}{5} \cdot e^{-\frac{1}{40} t} + \frac{24}{5}.

Slutligen spänningen över kondensatorn

U_c(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{-\frac{24}{5} \cdot e^{-\frac{1}{40} t} + \frac{24}{5}}{1/5} = -24 \cdot e^{-\frac{1}{40} t} + 24

Svar:

U_c(t) = 24(1 - e^{-\frac{1}{40} t})