För vilka värden på parametern $a$ ligger följande tre vektorer i samma plan.

\vec{u} = (4, a, 5), \vec{v} = (a, 1, 0), \vec{w} = (0, 0, 8).

Lösning:

Metod 1.

Volymen av den parallelepiped som spänns upp av $\vec{u}$ , $\vec{v}$ och $\vec{w}$ är 0 om vektorerna ligger i samma plan. Alltså

V = \left| \begin{array}{ccc} 4 & a & 5 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array} \right| = 0 \Rightarrow \text{(utveckla efter tredje raden)} = 8 \left| \begin{array}{cc} 4 & a \\ a & 1 \end{array} \right| = 0 \Rightarrow 4 - a^{2} = 0 \Rightarrow a = \pm 2.

Metod 2. Bestämmer normalen $\vec{n}$ till planet som innehåller vektorerna $\vec{v}$ och $\vec{w}$ :

\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array} \right| = \vec{e}_x (1 \cdot 8 - 0 \cdot 0) - \vec{e}_y (8a - 0 \cdot 0) + \vec{e}_z (a \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (8, -8a, 0)

Eftersom vektorn $\vec{u}$ ligger i samma plan är $\vec{u}$ vinkelrät mot normalen $\vec{n}$ vilket innebär att skalärprodukten $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ :

(4, a, 5) \cdot (8, -8a, 0) = 0 \Leftrightarrow 4 \cdot 8 - a \cdot 8a + 5 \cdot 0 = 0 \Leftrightarrow 4 - a^{2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2

Svar: $a = \pm 2$