Från kretsen får vi följande diff. ekv.

L \cdot \frac {d i (t)}{d t} + R i (t) + \frac {1}{C} q (t) = u (t)

dvs $\Rightarrow$ (efter subst. L, R och C)

i ^ {\prime} (t) + 4 0 i (t) + 4 0 0 q (t) = 4 0 \quad (\text{ekv 1}).

Vi eliminerar $q(t)$ genom att derivera ekvationen (notera att $q'(t) = i(t)$ ).

Vi får

i''(t) + 40i'(t) + 400i(t) = 0 \quad \text{(en homogen DE)}.

Härav $i(t) = C_1 e^{-20t} + C_2 t e^{-20t}$ .

För att bestämma $C_1$ och $C_2$ använder vi begynnelsevillkoren $i(0) = 0$ och $q(0) = 1$ .

Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar $i(0) = 0$ i lösningen

i(t) = C_1 e^{-20t} + C_2 t e^{-20t} \text{ och får} C_1 = 0 \quad \text{(ekv a)}

För att få ett villkor som innehåller $i'(0)$ substituerar vi $q(0) = 1$ (och $i(0) = 0$ ) i startekvationen

i'(t) + 40i(t) + 400q(t) = 40 \quad \text{(ekv 1)}.

Vi får $i'(0) + 40i(0) + 400q(0) = 40$

dvs $i'(0) + 40 \cdot 0 + 400 \cdot 1 = 40$

som ger $i'(0) = -360$ .

Eftersom $i(t) = 0 \cdot e^{-20t} + C_2 t e^{-20t} = C_2 t e^{-20t}$

har vi

i'(t) = \left(C_2 t e^{-20t}\right)' = C_2 e^{-20t} - 20 C_2 t e^{-20t}

som med $i'(0) = -360$ ger

C_2 = -360

Alltså gäller $i(t) = -360 t e^{-20t}$ .

Svar: $i(t) = -360 t e^{-20t}$ .

Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen $L \cdot q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = u(t)$ , där $q(t)$ är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen $i(t) = q'(t)$ .

Rättningsmall:

Korrekt till $i'(t) + 40i(t) + 400q(t) = 40$ (eller till en ekvivalent ekvation med enbart $q(t)$ ) ger 1p.

Korrekt till $i(t) = C_1 e^{-20t} + C_2 t e^{-20t}$ ger totalt 2p.

Korrekt $i'(0) = -360$ ger +1p

Allt korrekt =4p.