Från $z(x) = \sin (y(x))$ har vi (enligt kedjeregeln)

z ^ {\prime} (x) = \cos (y (x)) \cdot y ^ {\prime} (x) \quad (*)

Vi använder formeln $\tan (y(x)) = \frac{\sin(y(x))}{\cos(y(x))}$ och skriver om DE:

y ^ {\prime} (x) + \frac {1}{x} \frac {\sin (y (x))}{\cos (y (x))} = \frac {3 x}{\cos (y (x))}.

Multiplikationen med $\cos (y(x))$ ger

\cos (y (x)) \cdot y ^ {\prime} (x) + \frac {1}{x} \sin (y (x)) = 3 x.

Med hjälp av substitutionen och (*) har vi följande DE

z'(x) + \frac{1}{x} z(x) = 3x, \quad (**)

som är en linjer DE av första ordningen.

Ekvationen (**) kan vi lösa med hjälp av integrerande faktorn eller direkt med formeln

z(x) = e^{-\int P(x) \, dx} \left(C + \int Q(x) \cdot e^{\int P(x) \, dx} \, dx\right),

där $P(x) = \frac{1}{x}$ och $Q(x) = 3x$ .

Vi har

\begin{aligned} z(x) &= e^{-\ln x} \left(C + \int 3x \cdot e^{\ln x} \, dx\right) = \frac{1}{x} \left(C + \int 3x \cdot x \, dx\right) \\ &= \frac{1}{x} \left(C + \int 3x^2 \, dx\right) = \frac{1}{x} \left(C + x^3\right) \end{aligned}

Alltså $z(x) = \frac{1}{x} (C + x^3)$ .

Från substitutionen $z(x) = \sin(y(x))$

får vi $\sin(y(x)) = \frac{1}{x} (C + x^3)$ (där, enligt antagande, $-\frac{\pi}{2} < y(x) < \frac{\pi}{2}$ )

och slutligen $y(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x} (C + x^3)\right)$ .

Svar: $y(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x} (C + x^3)\right)$