Metod 1:
Låt $\Pi$ vara planet som går genom punkten $P = (1,1,3)$ vinkelrät mot linjen L.
Planet $\Pi$ har en normalvektor $\vec{n} = (-1, -1, 1)$ (dvs samma som linjens riktningsvektor). Därmed är $-1(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 3) = 0$ eller $-x - y + z - 1 = 0$ planets ekvation.
Skärningspunkten mellan linjen L och planet för vi genom att lösa systemet:

x = -t, \quad y = -t, \quad z = t, \quad -x - y + z - 1 = 0.

Substitutionen av x, y och z i planets ekv ger $t + t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t = 1 \Rightarrow t = 1/3$ .
Skärningspunkten är $Q = (-1/3, -1/3, 1/3)$ .
Avståndet är $d = \left| \overrightarrow{PQ} \right| = \left| (-4/3, -4/3, -8/3) \right| = \left| \frac{4}{3}(-1, -1, -2) \right| = \frac{4}{3}\sqrt{6}$
Metod 2: Vi kan använda formeln $d = \frac{\left| \overrightarrow{AP} \times \vec{v} \right|}{\left| \vec{v} \right|}$ där A är en punkt på linjen L.
Vi väljer $A = (0,0,0)$ , som vi får för $t = 0$ . Då är $\overrightarrow{AP} = (1,1,3)$ och

\overrightarrow{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4\vec{i} - 4\vec{j} = (4, -4, 0).

Slutligen $d = \frac{\left| \overrightarrow{AP} \times \vec{v} \right|}{\left| \vec{v} \right|} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ .
Svar: $\frac{4}{3}\sqrt{6}$