Vi saka visa att $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Metod 1. Vi använder formeln $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ .
Enligt antagande
$|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{u} - \vec{v}|$ , vi kvadrerar båda leden och får

|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2 \Rightarrow (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} + \vec{v}) = (\vec{u} - \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) \Rightarrow

Ekv.(1): $\vec{u} \cdot \vec{u} + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{u} - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \Rightarrow$

2\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\vec{u} \cdot \vec{v} \Rightarrow 4\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad (*)

Eftersom

\vec{u}

och

\vec{v}

är skilda från

\vec{0}

visar (*) att

\vec{u}

och

\vec{v}

är vinkelräta vektorer.
Anmärkning: Ovanstående bevis gäller för

n

-dimensionella vektorer.

Metod 2.

Låt $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ och $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ .
Kvadrera båda led i $|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{u} - \vec{v}|$ :

\mathrm{VL}^2 = \mathrm{HL}^2 \Rightarrow |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2. (u_1 + v_1)^2 + (u_2 + v_2)^2 + (u_3 + v_3)^2 = (u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 \Leftrightarrow

Ekv.(1):

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + 2(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) =

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 - 2(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) 2(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) = -2(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) \Rightarrow 2\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\vec{u} \cdot \vec{v} 4\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad (*)

Eftersom

\vec{u}

och

\vec{v}

är skilda från

\vec{0}

visar (*) att

\vec{u}

och

\vec{v}

är vinkelräta vektorer.