Låt $ A =

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{bmatrix}

$. Eftersom $ A \vec{b} = \vec{b} $ gäller för varje kolonnvektor $ \vec{b} $ (av typen $ 1 \times 3 $), är relationen uppfylld för följande tre speciella fall $ \vec{b} =

\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

$, $ \vec{b} =

\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

$ och $ \vec{b} =

\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

$.
Därför

A \vec {b} = \vec {b} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l l} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a \\ d \\ g \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \mathrm {d v s} a = 1, d = 0, g = 0.

På samma sätt

A \vec {b} = \vec {b} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l l} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b \\ e \\ h \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \mathrm {d v s} b = 0, e = 1, h = 0,

och

A \vec {b} = \vec {b} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l l} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} c \\ f \\ k \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \mathrm {d v s} c = 0, f = 0, k = 1,

Därmed blir

A = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \text { vilket skulle bevisas.}