Vi beräknar funktionen och derivator i punkten 1.

f(x) = \ln(x) \quad f(1) = \ln 1 = 0 f'(x) = \frac{1}{x} \quad f'(1) = 1 f''(x) = -x^{-2} \quad f''(1) = -1 f'''(x) = 2x^{-3} \quad f'''(c) = \frac{2}{c^3}

Värdena substituerar vi i formeln för Taylors polynom (av ordning 2)

T_4(x) = f(a) + (x - a)f'(a) + \frac{(x - a)^2}{2!}f''(a)

och får

T_2(x) = 0 + (x - 1) \cdot 1 + \frac{(x - 1)^2}{2!} \cdot (-1).

Detta ger $T_2(x) = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2}$ .

Svar:

a) $T_2(x) = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} \quad (= -\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{3}{2})$