c) $\int \frac{1}{x^2 + 4x + 3} dx.$

Först delar vi $\frac{1}{x^2 + 4x + 3}$ i partiella bråk.

Nämnarens nollställen får vi genom att lösa $x^{2} + 4x + 3 = 0$ . Vi har $x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 - 3}$ , som ger $x_{1} = -1$ och $x_{2} = -3$ .

Därmed $x^{2} + 4x + 3 = 1(x - x_{1})(x - x_{2}) = (x + 1)(x + 3)$

Vi fortsätter med partialbråksuppdelning:

$\frac{1}{x^2 + 4x + 3} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ (multiplicera med gemensamma nämnaren)

1 = A (x + 3) + B (x + 1) \quad (*)

Identitet $(^{*})$ måste vara sant för alla x. Därför kan vi välja två värden för x, substituera i $(^{*})$ och få två (gärna enkla) ekvationer på A och B.

i) Om vi väljer $x = -1$ så försvinner B och vi får

1 = A (-1 + 3) + B (-1 + 1) \quad \text{eller} \quad 1 = 2A. \text{Härav } A = \frac{1}{2}.

ii) Om vi väljer $x = -3$ så försvinner A och vi får

1 = A (-3 + 3) + B (-3 + 1) \quad \text{eller} \quad 1 = -2B. \text{Härav } B = -\frac{1}{2}.

Alltså $\frac{1}{x^2 + 4x + 3} = \frac{1/2}{x + 1} - \frac{1/2}{x + 3}$

Slutligen beräknar vi integralen:

\int \frac {1}{x ^ {2} + 4 x + 3} d x = \int \left(\frac {1 / 2}{x + 1} - \frac {1 / 2}{x + 1}\right) d x = \frac {1}{2} \ln | x + 1 | - \frac {1}{2} \ln | x + 3 | + C