För vilka värden på konstanten $k$ , där $k \neq 0$ saknar funktionen

f(x) = k x^2 + k^2 x + k^3 - k

nollställen? Svara exakt.

För att funktionen ska sakna nollställen så gäller det att $f(x) = 0$ saknar rötter.

\begin{array}{l} 0 = k x^2 + k^2 x + k^3 - k \\ 0 = k (x^2 + k x + k^2 - 1) \end{array}

$pq$ -formeln ger:

x_{1,2} = -\frac{k}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{k}{2}\right)^2 - k^2 + 1}

Då diskriminanten är negativ saknar funktionen nollställen, $\left(\frac{k}{2}\right)^2 - k^2 + 1 < 0$

\begin{array}{l} \left(\frac{k}{2}\right)^2 - k^2 + 1 < 0 \Leftrightarrow k^2 - 4k^2 + 4 < 0 \Leftrightarrow 3k^2 > 4 \Leftrightarrow k^2 - \frac{4}{3} > 0 \\ \Leftrightarrow \left(k - \frac{2}{\sqrt{3}}\right) \left(k + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) > 0 \end{array}

Vill alltså undersöka när denna produkt är större än noll (positiv).

Undersöker först i vilka intervall de olika faktorerna är negativa respektive positiva:

$\left(k - \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ negativ då $k < \frac{2}{\sqrt{3}}$ och positiv då $k > \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\left(k + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ negativ då $k < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ och positiv då $k > -\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Produkten $\left(k - \frac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(k + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ blir då positiv i de intervall där båda faktorer är negativa eller båda är positiva dvs då $k < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ eller $k > \frac{2}{\sqrt{3}}$ . (I intervallet $-\frac{2}{\sqrt{3}} < k < \frac{2}{\sqrt{3}}$ är produkten negativ.)

Detta ger lösningarna $k > \frac{2}{\sqrt{3}}, k < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Alternativt

För att hittar lösningarna till olikheten $k^2 - \frac{3}{4} > 0$ så kan funktionen $y = k^2 - \frac{4}{3}$ studeras.

Nollställena ges då $k^2 - \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow k = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$y = k^2 - \frac{4}{3}$ är en andragradsfunktion som har sin symmetriaxel vid y-axeln och den är förskjuten $\frac{4}{3}$ nedåt jämfört med kurvan för $y = k^2$ , se skiss nedan.

Utifrån grafen ser vi att olikheten $k^2 - \frac{4}{3} > 0$ uppfylls om $k < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ eller $k < \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Svar: Värden på $k$ som uppfyller $k > \frac{2}{\sqrt{3}}$ eller $k < -\frac{2}{\sqrt{3}}$ så saknar $f(x)$ nollställen.