(a) Låt oss beteckna med $x = |V|$ antalet noder och med $y = |E|$ antalet kanter till grafen $G = (V, E)$ . Den grafen är planär och dess sidor (regioner) är fem- och sex-hörningar. Vi betecknar med $z$ antalet sidor som är sexhörningar och $t$ antalet sidor som är femhörningar. Vi vet att i varje hörn möts exakt 2 sexhörningar och 1 femhörning som innebär att varje nod har gradtalet 3. Handskakningslemmat ger oss ekvationen

2y = 2|E| = \sum_{v \in V} d_g(v) = 3|V| = 3x \Leftrightarrow y = \frac{3x}{2}.

Eftersom varje nod i grafen "finns på" exakt en femhörning har vi att

5t = x \Leftrightarrow t = \frac{x}{5}.

Eftersom varje nod i grafen "finns på" exakt två sexhörning har vi att

6z/2 = x \Leftrightarrow t = \frac{x}{3}.

Eulers formel ger oss

2 = x - y + (z + t) = x \left(1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) = \frac{x}{30}

som betyder att antalet noder i $G$ är $x = 60$ . Detta ger antalet kanter $y = \frac{3x}{2} = 90$ , sexhörningar $z = \frac{x}{3} = 20$ och femhörningar $t = \frac{x}{5} = 12$ .