a) $D_f = \mathbb{R}$

\begin{array}{l} f'(x) = \left(e^x (x^2 + 3x + 1)\right) \\ = e^x (x^2 + 3x + 1) + e^x (2x + 3) \\ = \underbrace{e^x}_{20} (x^2 + 5x + 4). \end{array}

Vi ser att $f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 4 = 0$
$\Rightarrow x_1 = -1 \quad \text{och} \quad x_2 = -4.$
Teckentabell:

	$t_{1x} x = -5$	$t_{ex} x = -2$	$t_{ex} x = 0$
f'(x)	$x < -4$	$-4 < x < -1$	$-x > -1$
f(x)	+	+	+

\begin{array}{l} f(x) \\ + \\ f(x) \end{array} \Rightarrow \underbrace{\frac{5}{e^4}}_{\text{lok max}} \Rightarrow \underbrace{\frac{1}{e}}_{\text{lok min}} \Rightarrow f(-4) = e^{-4}((-4)^2 + 3(-4) + 1) = \frac{16 - 12 + 1}{e^4} = \frac{5}{e^4} f(-1) = e^{-1}((-1)^2 + 3(-1) + 1) = \frac{1 - 3 + 1}{e} = -\frac{1}{e}

Funktionen är kontinuerlig i IR så det finns inga vertikala asymptoter.
När det gäller horisontella asymptoter har vi

\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \Rightarrow \text{ingen horisontell asymptot når } x \to \infty. \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} e^x (x^2 + 3x + 1) = \left[ \begin{array}{l} \text{låt } t = -x \\ x \to -\infty \end{array} \right] = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2 + 3t + 1}{e^t} = 0.

x = 0

är alltså en horisontell asymptot.
En snedd asymptot kan bara finnas när

x \to \infty

, men

\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x (x^2 + 3x + 1)}{x} = \\ = \lim_{x \to \infty} e^x \left(x + 3 + \frac{1}{x}\right) = \infty

så det finns inga snedda asymptoter heller.
Till sist beräknar vi

\begin{aligned} f''(x) &= \left(e^x (x^2 + 5x + 4)\right) = \\ &= e^x (x^2 + 5x + 4) + e^x (2x + 5) = \\ &= e^x (x^2 + 7x + 9). \end{aligned} f''(x) = 0 \quad (=) \quad x^2 + 7x + 9 = 0 \quad (=) \quad x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 36}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{2}

Så	$x = -10$	$x < \frac{-7 - \sqrt{13}}{2}$	$x = \frac{-7 - \sqrt{13}}{2}$	$x = -\frac{-7 + \sqrt{13}}{2}$	$x = -\frac{-7 + \sqrt{13}}{2}$
$f''(x)$	+	0	—	0	+
$f(x)$	konvex	inflektionspunkt	konvex	inflektionspunkt.	konvex

Grafen: