Låt seriens term vara

a_n = \frac{(x + 2)^n}{2^n \sqrt{n + 1}}

Vi använder kvotkriterium 2 för att beräkna konvergensintervallet:

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x + 2)^{n+1}}{2^{n+1} \sqrt{n + 2}} \cdot \frac{(x + 2)^n}{2^n \sqrt{n + 1}} \right| \\ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x + 2)^{n+1}}{2^{n+1} \sqrt{n + 2}} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{n + 1}}{(x + 2)^n} \right| \\ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{2}(x + 2) \cdot \sqrt{\frac{n + 1}{n + 2}} \right| \to 0 \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}(x + 2) \cdot \sqrt{\frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})}} \to 0 \\ = \frac{1}{2}(x + 2). \end{array}

Serien är konvergent när $\frac{1}{2}(x + 2) < 1$ (=) $|x + 2| < 2$ (=) $-2 < x + 2 < 2$ (=) $-4 < x < 0$ .
Serien är divergent utanför detta intervall när $x > 0$ eller $x < -4$ .
Vi undersöker separat $x = 0$ samt $x = -4$ .
När $x = 0$ får vi serien

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{2^n \sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}

Denna serie är divergent då $\frac{1}{\sqrt{n+1}} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$ , och serien $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ är divergent, så jämförelsekriterium kommer att ge oss divergens.
När $x = -4$ får vi serien

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^x}{2^n \sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{2^n \sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^x}{\sqrt{n+1}}.

Denna serie är alternerande, med

|a_n| = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \rightarrow 0 \quad \text{och} |a_{n+1}| = \frac{1}{\sqrt{n+2}} < \frac{1}{\sqrt{n+1}} = |a_n|,

så $|a_n| \rightarrow 0$ monotont. Leibnitzkriterium ger konvergens. Notera att denna konvergens är betingat då $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ är divergent, se ovan.
Så serien är absolut konvergent när $-4 < x < 0$ , betingat konvergent när $x = -4$ och divergent annars.