Vi har $\nabla f(x,y) = (1, -1)$ , så $f$ har inga kritiska eller singulara punkter. Därmed har $f$ inga lokala extrempunkter i det inre av $E$ , så alla lokala extrempunkter måste ligga på randen. Den rätlinjiga delen av randen parametriseras genom $\mathbf{r}(t) = (t,0)$ , $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ . Vi har $f(\mathbf{r}(t)) = f(t,0) = t$ . På den rätlinjiga delen har vi alltså ett minsta värde för $t = -\sqrt{2}$ : $f(-\sqrt{2},0) = -\sqrt{2}$ och ett största värde för $t = \sqrt{2}$ : $f(\sqrt{2},0) = \sqrt{2}$ . Det återstår att undersöka det inre av den parabelformade delen av randen (alltså, ändpunkterna borttagna). Låt $g(x,y) = x^2 + y - 2$ . Vi söker lokala extrempunkter för $f(x,y)$ givet $g(x,y) = 0$ , $y > 0$ . Vi har $\nabla g(x,y) = (2x,1)$ . Enligt sats från kursen kan lokala extremvärden bara antas i punkter där $\nabla f$ och $\nabla g$ är parallella, alltså i punkter $(x,y)$ som löser ekvationssystemet

\left\{ \begin{array}{l} 1 = 2 \lambda x \\ - 1 = \lambda \\ y = 2 - x ^ {2} \end{array} \right.

Insättning av $\lambda = -1$ i den första ekvationen ger $x = -\frac{1}{2}$ , vilket insatt i den sista ekvationen ger $y = \frac{7}{4}$ . Vi har alltså den enda lösningen $(x,y) = (-\frac{1}{2},\frac{7}{4})$ . Funktionsvärdet i denna punkt är

f \left(- \frac {1}{2}, \frac {7}{4}\right) = - \frac {9}{4}.

Svar: Funktionens största värde på $E$ är $f(\sqrt{2}, 0) = \sqrt{2}$ och dess minsta värde på $E$ är $f\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right) = -\frac{9}{4}$ .