Potentiell energi blir levertisk energi (start i vila i potentialen $V(h)$ från ringen)

q_e (V(h) - V(0)) = m_e \frac{v^2}{2} - 0 \quad \text{där } v \text{ söks}

Potential i en punkt P längs $\hat{z}$ -axeln:

dV = \frac{dQ}{4\pi \varepsilon_o r} = \frac{\lambda a d\theta}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{a^2 + z^2}}

Integrera från $0 = 0$ till $0 = 2\pi$ :

V = \int_0^{2\pi} \frac{\lambda a d\theta}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{a^2 + z^2}} = \frac{\lambda a \cdot 2\pi}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{a^2 + z^2}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{a^2 + z^2}}

där $Q = \lambda a \cdot 2\pi$ är ledelningen i c)-uppgiften.

\Rightarrow m_e \frac{v^2}{2} = -e \left( \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{a^2 + h^2}} - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{a^2}} \right) \begin{aligned} v^2 &= \frac{2}{m_e} \cdot \frac{Q \cdot e}{4\pi \varepsilon_o} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + h^2}} \right) \\ &= \frac{2 \cdot 1.2566 \cdot 10^{-10} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19}}{9.109 \cdot 10^{-31} \cdot 4.1\pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12}} \left( \frac{1}{0,02} - \frac{1}{\sqrt{0,02^2 + 0,1^2}} \right) \\ &\approx 1.5967 \cdot 10^{13} \, [\mathrm{m^2/s^2}] \end{aligned} \Rightarrow v \approx \sqrt{1.5967 \cdot 10^{13}} \approx 3.9959 \cdot 10^6 \, [\mathrm{m/s}] c_o = 2.998 \cdot 10^8 \, \mathrm{m/s} \Rightarrow \frac{v}{c_o} \approx 0.0133

Svar: Då elektronen passerar ringens centrum har den farten $4.00 \, \mathrm{M\,m/s}$ ( $1.33\%$ av $c_o$ )