Bestäm farten $v_0 = |\vec{v}_0|$ i slutet av backen så att motorcykelns masscentrum landar 5 m från kanten på andra sidan

Start: $y_0 = 15,0\,\text{m}$
$x_0 = 0$
Ländning: $x_1 = 45,0\,\text{m}$
$(40\,\text{m} + 5\,\text{m})$
$x_1 = 0$ (marknivån)
$x_0 = 53,0^\circ$

Hastighet i $(x_0, y_0)$ : $\vec{v}_0 = v_0 \cos \alpha \vec{e}_x + v_0 \sin \alpha \vec{e}_y$

Acceleration: $\vec{a} = a_x \vec{e}_x + a_y \vec{e}_y = -g \vec{e}_y$ dvs $a_x = 0$ , $g = -g$

$\vec{e}_x$ : $a_x = 0 \Rightarrow v_x = v_0 \cos \alpha \Rightarrow \text{sträcka } x = v_0 \cos \alpha \cdot t$ (1) $= -9,8\,\text{m/s}^2$

$\vec{e}_y$ : $a_y = -g \Rightarrow v_y = v_0 \sin \alpha \cdot -gt \Rightarrow \text{sträcka } y = y_0 + v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$ (2)

(1) ger $t_1 = \frac{x_1}{v_0 \cos \alpha}$ = tiden att nå fram till $x_1$ . Sätt in i (2).

y_1 = y_0 + v_0 \sin \alpha \cdot \frac{x_1}{v_0 \cos \alpha} - \frac{1}{2} g \frac{x_1^2}{v_0^2 \cos^2 \alpha} = y_0 + x_1 \tan \alpha - \frac{1}{2} g \frac{x_1^2}{v_0^2 \cos^2 \alpha}

Sätt in $y_1 = 0$ (ländning) och lös ut $v_0^2$ :

$\frac{1}{2} g \frac{x_1^2}{v_0^2 \cos^2 \alpha} = y_0 + x_1 \tan \alpha \iff \frac{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}{g x_1^2} = \frac{1}{y_0 + x_1 \tan \alpha}$

$v_0^2 = \frac{g x_1^2}{(y_0 + x_1 \tan \alpha) \cdot 2 \cos^2 \alpha}$

Dimension: $\frac{[\,m/s^2\,] \cdot [\,m^2\,]}{[\,m\,]}$ = $[\,m^2/s^2\,]$ OK!

$v_0 = \sqrt{\frac{g x_1^2}{(y_0 + x_1 \tan \alpha) \cdot 2 \cos^2 \alpha}} = \frac{x_1}{\cos \alpha} \sqrt{\frac{g}{2(y_0 + x_1 \tan \alpha)}}$

$= \frac{45}{\cos 53^\circ} \sqrt{\frac{9,81}{2(15 + 45 \cdot \tan 53^\circ)}} \approx 19,16$ $[\,m/s\,]$

Rimligt? 19,2 m/s = 19,2·3,6 km/h = 69,0 km/h, OK fart för mc.

Svar: Farten 19,2 m/s (69,0 km/h) krävs

(ett längre avstånd $x_1$ ger större $v_0$ )